AB=E 이면 BA=E ( AB=I 이면 BA=I )
드디어 증명을 찾았다. 출처는 http://math.stackexchange.com/questions/216569/assuming-ab-i-prove-ba-i 의 Rob Johnson 씨의 답변.
이를 통하여 직교행렬 A의 정의를 A'A=I 로 하였을 때, A'가 A의 역행렬임을 알 수 있다.
Rob Johnson 씨의 답변을 한국어로 옮기고, 내가 이해가 안 되었던 부분을 더 자세히 추가하였다.
n차 정방행렬 A,B와 n차 단위행렬 I에 대하여, AB=I이면 BA=I임을 증명하여라.
증명:
n차 정방행렬 A, B와 n차 단위행렬 I에 대하여 AB=I 라고 가정한다. O는 영행렬이다.
AB - I = O
이므로, 양변의 왼쪽에 B를 곱하면 BI=B, BO=O 이므로
BAB-B = O
결합법칙을 이용하면
( BA - I ) B = O
이다.
{ej} 를 열벡터로 이루어진 n차원 유클리드공간의 정규기저라 하자. j=1~n
claim(이거 한국어로 뭐죠...?) : {Bej}는 선형독립이다. j=1~n
증명: aj (j=1~n) 은 모두 실수라고 하고
라고 가정한다.
이 식의 왼쪽에 A를 곱하면 AO=O이고 가정에 의하여 AB=I 이므로
{ej}가 기저이므로 선형독립이고, 따라서 모든 aj=0이어야 한다. 따라서
임이 증명되었고, claim에서 말하는 바와 같다. claim 증명 끝
( BA - I ) B = O 에서 양변의 오른쪽에 ej를 곱하면 (j=1~n중 아무거나)
( BA - I ) B ej = O
따라서 BA - I 의 각 행벡터는 {Bej}의 모든 원소와의 내적이 0이다.
이는, BA - I 의 각 행벡터는
i) 영벡터이다.
ii) 영벡터가 아니면서, {Bej}의 모든원소와 직교한다.
둘중 하나를 만족해야 한다.
ii)를 만족한다면, claim에 모순된다.
{Bej}는 n개의 선형독립인 원소로 구성되어 있으므로 n차원 유클리드공간의 기저인데,
영벡터가 아니면서 기저의 모든 원소와 직교하는 벡터는 존재하지 않는다
만일 존재한다고 하고 그 벡터를 v라 하면,v가 영벡터가 아니므로 v는 {Bej}의 어느 원소와도 선형독립 즉
{Bej}U{v}가 n+1개의 원소로 이루어진 선형독립인 집합이 되는데
n차원 공간에서 n+1개의 선형독립인 벡터는 존재하지 않는다.
따라서 BA = I 의 각 행벡터는 모두 i) 을 만족해야 하므로, BA - I = O
따라서 BA = I 이다. 증명 끝
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무한차원인 경우에는 성립하지 않는다고 한다. ㅎㅎ
